Some Math Basics often used in Photogrammetry (Cyrill Stachniss, 2021)

⇒ a short remider on mathematics

Linear Equations System

$Ax = b$

A가 full rank / overdetermined / underdetermined이냐에 따라 구분할 수 있음.

이는 A라는 행렬의 rank. 즉, independent한 column의 갯수에 따라 구해지는 해의 갯수가 달라짐.

$A$가 full rank & square matrix 인 경우 ⇒ unique solution

• Gauss elimination

• Inversion of $A$: $x = A^{-1}b$

• Cholesky decomposition $chol(A) = LL^T$ with lower triangular matrix $L$

  Solving $Ly=b$ and $L^Tx=y$

  이 방식은 A를 decompostion하여, $L(L^Tx)=b$ 와 같이 푸는 방식으로 lower triangular matrix로 분해되기만 하면 $y$를 구하는 것이 매우 간단하기 때문에 사용한다.

• QR decomposition

  Orthogonal matrix Q와 an upper triangular matrix R 로 분해하는 방식. Orthogonal matrix는 행과 열이 모두 orthonormal 한 square matrix이다. orthonormal이란 서로의 dot product가 0이 되면서 크기가 1인 vector를 말한다. 계산하는 방법은 eigenvector 구해서 요래저래~

• Conjugate gradients

  gradients가 들어가는 것으로 보아 iteration을 하면서 해의 근접하는 방식으로 보임.

$A$가 overdetermined 인 경우 ⇒ No exact solution

보통 real-world 에서 주로 나타나는 상황으로 완전히 풀어낼 수 없어 근사값을 찾아내고자 함.

$$ ⁍ $$

이를 Ordinary least squares approach라고 함. (최소제곱근사법)

$A$가 underdetermined인 경우 ⇒ Infinite solutions