Author: Joan Solà (2017)

원래는 필요한 부분만 훑고 넘어가려고 했는데 이번에 quaternion에 대해 제대로 살펴보고 가면 좋을 것 같아 Chapter 1 ~ 4를 이해가능한 범위까지 보도록 한다.

또한 이 책에서는 the Hamilton convention으로 정의나 용어를 사용하였다. the JPL convention에 대해서도 일부 다루나, 생략하면서 지나가고자 한다.

1. Quaternion definition and properties

1.1 Definition of quaternion

the Cayley-Dickson contruction:

우리가 2개의 복소수 $A=a+bi, C=c+di$를 가지고 있다고 하면, 이를 $Q=A+Cj$와 같이 구성하고 $k\triangleq{ij}$로 정의하면 쿼터니언 공간 안의 한 수를 정의할 수 있다.

$$ Q=a+bi+cj+dk\in{\mathbb{H}}\tag{1} $$

$\\ \text{where}\ \{a, b, c, d\}\in\Reals, \text{and}\ \{i,j,k\}\ \text{are three imaginary unit numbers}$

그리고 허수 $i,j,k$는 다음과 같이 정의된다.

$$ i^2=j^2=k^2=ijk=-1\tag{2} $$

(1)로부터 실수, 허수, 복소수는 모두 쿼터니언 정의에 포함될 수 있음을 알 수 있다.

아래와 같이 실수부가 없는 경우에는 pure quaternions 으로 나타낼 수 있다.

$$ Q=bi+cj+dk\in\mathbb{H_p}\subset\mathbb{H}\tag{3} $$

단위 길이 $\mathbf{z}=e^{i\theta}$를 갖는 복소수를 2차원에서의 회전변환으로 볼 수 있듯이, 단위 길이 $\mathbf{q}=e^{(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)\theta/2}$를 갖는 “확장된 복소수” 혹은 쿼터니언 또한 3차원에서의 회전변환으로 볼 수 있다.

1.1.1. Alternative representations of the quaternion

위와 같이 실수 + 허수로 이루어진 쿼터니언 정의는 불편할 때가 있어 스칼라+벡터로 이루어진 정의도 도입한다.

Note: The real+imaginary notation $\{1,i,j,k\}$

$$ Q=q_w+q_xi+q_yj+q_zk \iff Q=q_w+\mathbf{q_v} \tag{4} $$

$\text{where}\ q_w\ \text{is referred to as the}\ real\ \text{or}\ scalar\ \text{part,}\ \mathbf{q_v}=q_xi+q_yj+q_zk=(q_x,q_y,q_z)\ \text{as the}\ imaginary\ \text{or}\ vector\ \text{part.}$